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\title{\Large \textbf{Rentenmodell der AHV} \\ \large Methodenbeschrieb}
\author{Jörg Kalbfuss}
\institute{Bundesamt für Sozialversicherungen}
\titlegraphic{\centering\includegraphics{logo-small}}
\date{4. Juni, 2024}

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\begin{document}


\frame{\titlepage}

% ----

\begin{frame}{Motivation}

\begin{outline}
  \1 AHV-FHH gemäss GO als politisches Steuerungsinstrument
  \1 kurzfristig dominiert \textit{Bestand} der Renten
  \1 \textit{eigentliche Kunst:} mittelfristige Trends erkennen
  \1 \textit{methodisch:} wie granular sollten wir modellieren?
  \1 Kohorten (= Flussgrösse) antizipieren Trends frühzeitiger
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Lebenszyklus der Renten}

\begin{figure}
  \includegraphics[width=\textwidth]{lifeline}
\end{figure}

\end{frame}

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\begin{frame}


\begin{figure}
\centering
  \includegraphics[width=1\textwidth]{cohort_rentsum}
\end{figure}


\end{frame}

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\begin{frame}{Grundsatz}

\begin{outline}
  \1 Delfin modelliert ausschliesslich Altersrenten
  \1 \textit{Rest:} Adjustierung auf aktuelle ZAS Abschlussrechnung
  \1 \textit{implizite Annahme:} Wachstumsrate anderer Posten identisch
  \1 \textit{Kernabstraktion:} Beitragsjahre statt Beziehende modellieren
  \1 \textit{Vorteil:} keine Paneldaten notwendig
  \1 nach Alter disaggregierte Querschnitte ausreichend
\end{outline}

\end{frame}
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\begin{frame}{Definitionen/Konventionen (1/2)}

\begin{outline}
  \1 «Typ» eines Individuums:
  $$ \tau \in \textit{Geschlecht} \times \textit{Nationalität} \times \textit{Domizil} \times ... $$
  \1 ... \textit{Renteneintrittsalter}: $$62 \leq \alpha_\tau \leq 70$$
  \1 Summe Beitragsjahre geteilt durch mögliches Maximum \textit{Anfang Jahr}: $$V_{i, \tau, t}(\alpha) \in [0, 1]$$
  \1 massgebliches jährliches Durchschnittseinkommen (MD): $$M_{i, \tau, t}(\alpha)$$
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Definitionen/Konventionen (2/2)}

\begin{outline}
  \1 \textit{jährliche} Minimalrente: $\mu_t$
  \1 Renten-Multiplikator u.a. wegen Rentenvorbezug/-aufschub, Plafonierung, Verwitwung: $\eta_{i, \tau, t}(\alpha_\tau)$
  \1 antizipiertes Erstbezugsjahr (Notationsmissbrauch): $t_r$
  \1 Vollrentenmultiplikator (VM):
  \begin{equation*}
    R_{i, \tau, t}(\alpha) \equiv \eta_{i, \tau, t}(\alpha) \times
  \begin{cases}
  1                                       \!\!\!\!\!        &,\; \phantom{1 < ~} \frac{M_{i, \tau, t}(\alpha)}{\mu_{t_r}} \leq 1 \\
  0.74 + \frac{26}{100} \frac{M_{i, \tau, t}(\alpha)}{\mu_{t_r}} \!\!\!\!\!&,\; 1 < \frac{M_{i, \tau, t}(\alpha)}{\mu_{t_r}} \leq 3 \\
  1.04 + \frac{16}{100} \frac{M_{i, \tau, t}(\alpha)}{\mu_{t_r}} \!\!\!\!\!&,\; 3 < \frac{M_{i, \tau, t}(\alpha)}{\mu_{t_r}} \leq 6 \\
  2                                       \!\!\!\!\!        &,\; 6            < \frac{M_{i, \tau, t}(\alpha)}{\mu_{t_r}}
  \end{cases}
  \end{equation*}
  \1 im Allgemeinen $M_{i, \tau, t + r}(\alpha_\tau + r) \neq M_{i, \tau, t}(\alpha_\tau)$ (z.B. Splitting wenn beide Partner Referenzalter erreichen)  
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Erstrentensumme (1/6)}

\begin{outline}
  \1 individueller Rentenanspruch vom Typ $\tau$ im Alter $\alpha$:
    \begin{equation}
      \mu_t \leq \frac{V_{i, \tau, t}(\alpha) \times R_{i, \tau, t}(\alpha)}{\eta_{i, \tau, t}(\alpha_\tau)} \times \mu_t \leq 2 \times \mu_t
    \end{equation}
  \1 bei erstmaligem Rentenbezug im Jahr $t$ gilt:
\end{outline}
\begin{align*}
\begin{split}
           &\; \mathbbm{E} \big[S_{\tau, t}(\alpha_\tau)\big] / \mu_t \\
         \equiv &\; \mathbbm{E} \Big[\sum\nolimits_i \Big(V_{i, \tau, t}(\alpha_\tau) \times R_{i, \tau, t}(\alpha_\tau)\Big)\Big] \\
         = &\; \sum\nolimits_i \Big(\mathbbm{E} \big[V_{i, \tau, t}(\alpha_\tau) \times R_{i, \tau, t}(\alpha_\tau)\big]\Big) \\
         = &\; \sum\nolimits_i \Big(\mathbbm{E} \big[V_{i, \tau, t}(\alpha_\tau)\big] \times \mathbbm{E}\big[R_{i, \tau, t}(\alpha_\tau)\big]
    + \mathbbm{Kov}\big[V_{i, \tau, t}(\alpha_\tau), R_{i, \tau, t}(\alpha_\tau)\big]\Big) \\
    = & \; \sum\nolimits_i \mathbbm{E}\big[V_{i, \tau, t}(\alpha_\tau)\big] \times \Bigg( \mathbbm{E}\big[R_{i, \tau, t}(\alpha_\tau)\big]
    + \frac{\mathbbm{Kov}\big[V_{i, \tau, t}(\alpha_\tau), R_{i, \tau, t}(\alpha_\tau)\big]}{\mathbbm{E}\big[V_{i, \tau, t}(\alpha_\tau)\big]} \Bigg)
\end{split}
\end{align*}

\end{frame}

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\begin{frame}{Erstrentensumme (2/6)}

\begin{outline}
  \1 \textbf{Annahme I:}
  \begin{equation}
    \frac{\mathbbm{Kov}\big[V_{i, \tau, t}(\alpha), R_{i, \tau, t}(\alpha)\big]}{\mathbbm{E}[V_{i, \tau, t}(\alpha)]} \perp\!\!\!\perp \sum\nolimits_j V_{j, \tau, t}(\alpha)
  \end{equation}
  \1 z.B. erfüllt wenn Änderungen im Beitragsjahrbestand ausschliesslich von Kohorten-Grössen getrieben sind
  \1 Annahme nur (wirklich) relevant für ausländische Nationalitäten, da fast alle Schweizer volle Skala aufweisen und $$\mathbbm{Kov}\big[1, R_{i, \tau, t}(\alpha)\big] = 0$$
  \1 zur Exposition hierab stärkere Annahme: $$V_{i, \tau, t}(\alpha) \perp\!\!\!\perp M_{i, \tau, t}(\alpha) \implies \mathbbm{Kov}\big[V_{i, \tau, t}(\alpha), R_{i, \tau, t}(\alpha)\big] = 0$$
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Erstrentensumme (3/6)}

\begin{outline}
  \1 Überlebenswahrscheinlichkeit von Anfang $t$ bis Ende $t + k$: $$ \sigma_{i, \tau, t}(\alpha, k) \in [0, 1]$$
  \1 Konvention: $\sigma_{i, \tau, t}(\alpha, 0) = 1$
  \1 \textbf{Annahme II:}
  \begin{equation}
    \sigma_{i, \tau, t}(\alpha, k) = \sigma_{\tau, t}(\alpha, k)
  \end{equation}
  \1 \textit{heisst:} individuelle Sterbewahrscheinlichkeit ist deterministisch und unabhängig von realisierter Skala und MD
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Erstrentensumme (4/6)}

\begin{outline}
  \1 sei $t_0$ das aktuelle Jahr
  \1 \textbf{Annahme III (Lebenszyklus):}
  \begin{equation*}
    R^\varnothing_{\tau, t_0 + k + \ell}(\alpha_\tau + k) = \overbrace{R^\varnothing_{\tau, t_0 + \ell}(\alpha_\tau)}^{\substack{\text{antizipiertes} \\ \text{Erstrenten-VM}}} \times \overbrace{\frac{R^\varnothing_{\tau, t_0}(\alpha_\tau+ k)}{R^\varnothing_{\tau, t_0}(\alpha_\tau)}}^{\substack{\text{rel. Evolution gemäss} \\ \text{RR in $t_0$}}}
  \end{equation*}
  \1 \textit{Interpretation:} zeitliche relative Entwicklung der VM nach Renteneintritt bleibt konstant für \textit{zukünftige} Kohorten
  \1 Annahme für \textit{bestehende} Kohorten ($t_r < t_0$): $$R^\varnothing_{\tau, t_0 + k}(\alpha + k) = R^\varnothing_{\tau, t_0}(\alpha + k)\quad \forall\,\alpha > \alpha_\tau$$

\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Erstrentensumme (5/6)}

\begin{outline}
  \1 sei $\varepsilon_t(k)$ eine bekannte Funktion in $\mathbb{N}_+$
  \1 \textbf{Annahme IV (Erstrentenentwicklung):}
  \begin{equation}
    \frac{R^\varnothing_{\tau, t_0 + k}(\alpha_\tau)}{R^\varnothing_{\tau, t_0}(\alpha_\tau)} = \varepsilon_t(k)
  \end{equation}
  \1 \textit{in Worten:} Erstrentenniveaus der Zukunft sind vergangene mal Kohorten-spezifischer Faktor
  \1 impliziert mit Annahme III, dass Durchschnittsrentenpfad per Kohorte nach Renteneintritt (für $t_r > t_0$) mit $\varepsilon_{t_0}(k)$ skaliert:
  \begin{equation}
    R^\varnothing_{\tau, t_0 + \ell + k}(\alpha_\tau + \ell) = R^\varnothing_{\tau, t_0}(\alpha_\tau + \ell) \times \varepsilon_{t_0}(k) 
  \end{equation}
  \1 \textit{merke:} $\varepsilon_t$ ist nicht $\tau$-spezifisch
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Erstrentensumme (6/6)}

\begin{outline}
  \1 \textbf{Annahme I} erlaubt Vereinfachung
\end{outline}
\begin{align}
  \mathbbm{E} \big[S_{\tau, t}(\alpha_\tau)\big] / \mu_t & = \sum\nolimits_i \Big(\mathbbm{E} \big[V_{i, \tau, t}(\alpha_\tau)\big] \times \mathbbm{E}\big[R_{i, \tau, t}(\alpha_\tau)\big]\Big) \nonumber \\
                                                & \equiv \mathbbm{E}\big[V^\Sigma_{\tau, t}(\alpha_\tau) \big] \times \mathbbm{E} \big[R^\varnothing_{\tau, t}(\alpha_\tau)\big]
\end{align}

\begin{outline}
  \1 $V^\Sigma_{\tau, t}(\alpha)$ sind \textit{kumulierte Vollrentenansprüche} (KV)
  \1 erlaubt unabhängige Fortschreibung von erwarteten Skalenbeständen und Rentenanspruch pro Skala
  \1 zudem folgt aus Annahme II, dass
  \begin{equation}
    \mathbbm{E}\big[V^\Sigma_{\tau, t_0 + k + \ell}(\alpha_\tau + k)\big] = \mathbbm{E}\big[V^\Sigma_{\tau, t_0 + \ell}(\alpha_\tau) \big] \times \sigma_{\tau, t_0 + \ell}(\alpha_\tau, k)
  \end{equation}
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Gesamtausgaben}

\begin{outline}
  \1 totale erwartete Altersrentensumme in $t$:
  \begin{align*}
    \mathbbm{E}\Big[\sum\nolimits_{\tau} \sum\nolimits_{\alpha \geq \alpha_\tau} S_{\tau, t}(\alpha)\Big] 
    = \sum\nolimits_{\tau} \Big( \sum\nolimits_{\alpha \geq \alpha_\tau} \mathbbm{E}\big[S_{\tau, t}(\alpha)\big] \Big)
  \end{align*}
  \1 Schätzung benötigt Erstrentensummen in $t_0 +1, \dots, k$
  \1 theoretische Anzahl Schätzwerte: $$\underbrace{2}_{\text{Geschlecht}} \times \underbrace{2}_{\text{Nationalität}} \times \underbrace{2}_{\text{Domizil}} \times \underbrace{8}_{\text{$\alpha_\tau$}} \times \underbrace{2}_{\text{KV \& VM}} \times k = 128 \times k$$
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Schätzung VMs}

\begin{outline}
  \1 Fortschreibung aktueller Erstrenten-VM via Polynom:
  \begin{align} 
  \frac{\widehat{r}^{\,\varnothing}_{\tau, t_0 + k}(\alpha_\tau)}{r^{\,\varnothing}_{\tau, t_0}(\alpha_\tau)} = \varepsilon_{t_0}(k) \quad \forall\, k \in \mathbb{N}_+
  \end{align}
  \1 \textit{aktuell:}
  \begin{equation}
    \varepsilon_{t_0}(k) \equiv 1 + 0.01 \times k - 0.00035 \times k^2
  \end{equation}
  \1 gewählt (und zeitweise angepasst) um frühere FHH anzunähern
  \1 Vergleich mit Fit auf Basis von Rentenregister:
    \begin{equation}
      \widehat{\varepsilon}_{t_0}(k) = 1 + 0.0009325 \times k - 0.0001991 \times k^2
    \end{equation} 
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Schätzung KV (1/5)}

\begin{outline}
  \1 \textbf{Annahme III:} 
  \begin{quote}
  \vspace{.5\baselineskip}
  Jeder Mensch, der Ende des Jahres in der Schweiz lebt oder arbeitet, sammelt ein Beitragsjahr an.
  \end{quote}
  \1 momentane Vereinfachung: $\alpha_\tau = 65$, Beiträge frühestens ab 20
  \1 Anzahl Typ-$\tau$ Menschen im Alter Ende Jahr : $$P_{\tau, t}(\alpha) \quad\forall \alpha \in [21, 64]$$
  \1 Konsequenz (wieder unter Annahme II):
  \begin{equation} \label{gio34hj2932}
    V^\Sigma_{\tau, t + 1}(\alpha + 1) = \underbrace{V^\Sigma_{\tau, t}(\alpha) \times \sigma_{\tau, t}(\alpha, 1)}_{\substack{\text{Bestand \&} \\ \text{Auspflegung}}} + \underbrace{P_{\tau, t}(\alpha) / 44}_{\text{Zufluss}}
  \end{equation}
\end{outline}


\end{frame}

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\begin{frame}{Schätzung KV (2/5)}

\begin{outline}
  \1 Auflösung von Rekursion \eqref{gio34hj2932} ergibt Erstrentner-KV:
  \begin{multline}
    V^\Sigma_{\tau, t}(\alpha_\tau) = \\ \sum\nolimits_{k = 0}^{43} \Big( P_{\tau, t - 1 - k}(\alpha_\tau - 1 - k) \times \sigma_{\tau, t - k}(\alpha_\tau - k, k) / 44\Big) 
  \end{multline}
  \1 beruht ausschliesslich auf demografischer Bilanz
  \1 \textit{anders ausgedrückt:} separate Schätzung von Kohorten-Grösse und $\mathbbm{E}[V_{i, \tau, t}(\alpha_\tau)]$ obsolet
  \1 \textit{Umsetzung:} Initialisierung von $t = 0$ mit \textit{exogenen} KV Beständen 
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Schätzung KV (3/5)}

\begin{outline}
  \1 Typ-$\tau$ KV im Alter $\alpha$ in «Genesis» $t = 0$ (Parameter):$$\nu_{\tau}(\alpha) \equiv V^\Sigma_{\tau, 0}(\alpha)$$
  \1 verkürzte Darstellung der Erstrenten-KV:
  \begin{multline}
    V^\Sigma_{\tau, t}(\alpha_\tau) = \nu_{\tau}(\alpha) \times \sigma_{\tau, 0}(t) \; + \\ \sum_{k = 0}^{\alpha_\tau - \alpha} \Big( P_{\tau, t - 1 - k}(\alpha_\tau - 1 - k) \times \sigma_{\tau, t - k}(\alpha_\tau - k, k) / 44\Big) \label{rojg40933}
  \end{multline}
  \1 \textit{implizit:} hier $t = \alpha_\tau - \alpha$
\end{outline}

\end{frame}

% -----

\begin{frame}{Schätzung KV (4/5)}

\begin{outline}
  \1 \textit{aktuell:} Genesis in 1971 und $\nu_{\tau}(\alpha) = 0 \quad \forall \alpha, \tau$
  \1 Schätzung gemäss \eqref{rojg40933}:  
  \begin{multline*}
    \widehat{v}^\Sigma_{\tau, t}(\alpha_\tau) =  \\ \sum\nolimits_{k = 0}^{\alpha_\tau - \alpha} \Big( p_{\tau, t - 1 - k}(\alpha_\tau - 1 - k) \times \sigma_{\tau, t - k}(\alpha_\tau - k, k) / 44\Big) \label{rojg4093584379}
  \end{multline*}
  \1 $p_{\tau, t}(\alpha)$ aus ESPOP/STATPOP für $t\leq t_0$, ansonsten (adjustiertes) BFS-Szenario
\end{outline}

\end{frame}

% -----

\begin{frame}{Schätzung KV (5/5)}

\begin{outline}
    \1 derzeitige Implementation verwendet Wachstumsraten:
  \begin{align}
    W_{\tau, t}(k) \equiv V^{\Sigma}_{\tau, t + k}(\alpha_\tau) / V^\Sigma_{\tau, t}(\alpha_\tau)
  \end{align}
  \1 Schätzer:
  \begin{align}
    \widehat{w}_{\tau, t}(k) = \widehat{v}^\Sigma_{\tau, t + k}(\alpha) / \widehat{v}^\Sigma_{\tau, t}(\alpha)
  \end{align}
  \1 Schätzung Erstrenten-KV für $t > t_0$:
  \begin{equation}
    \widehat{v}^\Sigma_{\tau, t_0 + k}(\alpha_\tau) = \widehat{w}_{\tau, t_0}(k)     \times v^\Sigma_{\tau, t_0}(\alpha_\tau)
  \end{equation}
  \1 äquivalent zu multiplikativer Justierung geschätzter KV auf beobachtete in $t_0$
\end{outline}

\end{frame}

% -----

\begin{frame}{Populationsquerschnitte}

\begin{outline}
  \1 für $\tau = \{..., \text{Ausland}\}:$ 
  \begin{align*}
    P_{\tau, t}(\alpha) = &\; \textit{Emigranten}_{\tau, t}(\alpha) + \textit{freiwillig Versicherte}_{\tau, t}(\alpha) \\ 
    + &\; \textit{Grenzgänger}_{\tau, t}(\alpha) + \textit{Saisonniers}_{\tau, t}(\alpha)
  \end{align*}
  \1 \textbf{Annahme IV:}
    \begin{quote}
  \vspace{.5\baselineskip}
  Der Typ $\tau$ ist angeboren und verändert sich nicht.
  \end{quote}
  
  \1 inkohärent bei Emigration, ignoriert Naturalisierung ...
  \1 Daten direkt von BFS/DatA (ausser Saisonniers)
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Gesamtausgaben $G_t$}

\begin{outline}
  \1 AHV-Gesamtausgaben gemäss ZAS: $Z_t$
  \1 Rentensummen-Schätzer pro Kohorte:
  \begin{equation}
    \widehat{s}_{t_0 + k, \tau}(\alpha) = \mu_{t_0 + k} \times \widehat{v}^\Sigma_{\tau, t_0 + k}(\alpha) \times \widehat{r}^{\,\varnothing}_{\tau, t_0 + k}(\alpha)
  \end{equation}
  \1 ZAS-Adjustierung geschätzter Altersrentensumme in $t_0$:
  \begin{equation}
    \gamma_{t_0} \equiv Z_{t_0} / \sum\nolimits_\tau \Big(\sum\nolimits_{\alpha \geq \alpha_\tau} \widehat{s}_{t_0, \tau}(\alpha) \Big)
  \end{equation}
  \1 Schätzer für Gesamtausgaben in $k$ Jahren:
  \begin{equation}
    \widehat{g}_{t_0}(k) \equiv \gamma_{t_0} \times \sum\nolimits_\tau \Big(\sum\nolimits_{\alpha \geq \alpha_\tau} \widehat{s}_{t_0 + k, \tau}(\alpha) \Big)
  \end{equation}
\end{outline}

\end{frame}

% -----

\begin{frame}{mod\_korrpop}

\begin{outline}
  \1 «Totalrentenformel»:
  \begin{align*}
  \xi(t) \equiv &\; 1.00748 + 0.0089 \times \big(t - (t_0 + 1)\big) \\
              - &\; 0.0000015 \times \big(t - (t_0 + 1)\big)^2 \quad \forall\;\; t \geq t_0 + 1.
\end{align*}
  \1 im FHH: $\xi(t_0 + k) \times \widehat{g}_{t_0}(k)$
  \1 Grund für Skalierung unbekannt
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Weitere Details/Annahmen}

\begin{outline}
  \1 Rentenvorbezugs- und -aufschubsquoten konstant
  \1 Kostenanteile neben Altersrenten konstant
  \1 nur CH Mortalitätsraten werden genutzt
  \1 multiplikative Adjustierung der BFS Szenarios
  \1 zeitweise wurde nur Inlandsbevölkerung projiziert
  \1 übergangsweise «Kompression» der Skalen nahe 1948
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Probleme}

\begin{outline}
  \1 umständliche Implementierung 
  \1 (zu) starke Abhängigkeit von ZAS-Adjustierung
  \1 Umgang mit Emigration/Naturalisierung inkohärent
  \1 Fortschreibung VMs fragwürdig/simplistisch
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Implementierung}

\begin{outline}
  \1 kohärentes, überschaubares «data warehouse»
  \1 Entfernung von «legacy» Code
  \1 Matrix-Kalkulation statt rekursive KV-Berechnung
  \1 Etablierung von Coding «best practices»
  \1 Flussdiagramme für sequentielle Abhängigkeiten der Skripts
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{ZAS-Adjustierung}

\begin{outline}
  \1 \textit{backtesting:} zumindest Altersrentensummen sollten getroffen werden
  \1 Szenario-Adjustierung verfeinern
  \1 evt. komplementäres Modell für «andere» Renten
  \1 Detailanalyse Modellfehler versus unmodellierte Ausgabenkomponenten
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Emigration \& Naturalisierung}

\begin{outline}
  \1 Skalenallokation bei Auswanderung via ZEMIS
  \1 Sozialversicherungsabkommen/Einmalauszahlungen
  \1 heuristisch: anteilsmässige Allokation gemäss Populationsanteil
  \1 Daten zur Naturalisierung erhältlich
\end{outline}

\end{frame}

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\begin{frame}{Fortschreibung VMs}

\begin{outline}
  \1 Minimum: Polynome \textit{fitten}, für jeden Typ (ohne $\alpha_\tau$)
  \1 höhere Rentenniveaus bestehender Kohorten antizipieren
  \1 theoretisch mehr möglich mit IKs
  \1 Modellierung der MDs nützlich für politische Begleitung
  \1 Aufwertungsfaktoren!
  \1 Lebenszyklusfaktor modellieren?
\end{outline}

\end{frame}

\end{document}
